树

定义

在计算机科学中，树（英语：tree）是一种抽象数据类型（ADT）或是实现这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>0）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

术语

树的性质

  1. 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度（根结点1的度为2）；

  2. 树的度：一棵树中，最大的节点度称为树的度（二叉树的度为2）；

  3. 叶节点或终端节点：度为零的节点（节点5、6、7、8）；

  4. 非终端节点或分支节点：度不为零的节点（节点1、2、3、4）；

  5. 父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点（节点2的父节点为1，根结点1没有父节点）；

  6. 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点（节点2的孩子节点为4、5）；

  7. 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点（节点4和5、节点6和7）；

  8. 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推（如图）；

  9. 深度：对于任意节点n,n的深度为从根到n的唯一路径长，根的深度为0（如图）；

  10. 高度：对于任意节点n,n的高度为从n到一片树叶的最长路径长，所有树叶的高度为0（如图）；

  11. 堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟（节点4和6）；

  12. 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点（节点8的祖先节点为：1、2、4）；

  13. 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙（节点2的子孙为4、5、8）。

性质

  1. 每个节点都只有有限个子节点或无子节点；

  2. 没有父节点的节点称为根节点；

  3. 每一个非根节点有且只有一个父节点；

  4. 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；

  5. 树里面没有环路(cycle)

分类

  1. 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树；

  2. 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树；

    • 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；

      • 完全二叉树：对于一颗二叉树，假设其深度为d（d>1）。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树；

        • 满二叉树：所有叶节点都在最底层的完全二叉树；

      • 平衡二叉树（AVL树）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树；

      • 排序二叉树(二叉查找树（英语：Binary Search Tree))：也称二叉搜索树、有序二叉树；

    • 霍夫曼树：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树；

    • B树：一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据有序，拥有多于两个子树。

存储

  1. 顺序存储（数组）：紧凑、CPU缓存亲和

    • 完全二叉树（满二叉树）

  2. 链式存储（二叉链表）：避免数组存储浪费空间的问题

    • 普通二叉树

  3. 链式存储（三叉链表）：存储父节点指针

遍历

以二叉树为例

  1. 深度优先（DFS）

    • 前序（根-左-右）

    • 中序（左-根-右）

    • 后序（左-右-根）

  2. 广度优先（BFS）

DFS

递归框架

递归写法非常简单，如下所示

traverse(root) {
    if not root:
        return

    # print(root.val)       # 前序
    traverse(root.left)
    # print(root.val)       # 中序
    traverse(root.right)
    # print(root.val)       # 后序 
}

迭代

前序

利用栈先进后出的特性，

  1. 使用根节点初始化栈；

  2. 当栈不为空（确定终止条件）

    1. 使栈顶节点出栈（第一次为根结点），取节点值放入返回列表中；

    2. 如果不为叶子节点（存在左孩子或右孩子或都有），依次往栈里放入右孩子节点、左孩子节点

    3. 如果为叶子节点，则不入栈

class Solution:
    def preorderTraversal(self, root: TreeNode) -> List[int]:

        if not root:
            return []

        stack = [root]
        res = []

        while stack:
            node = stack.pop()
            res.append(node.val)
            if node.right:
                stack.append(node.right)
            if node.left:
                stack.append(node.left)

        return res

中序

与递归法类似，模拟函数栈的出入过程

class Solution:
    def inorderTraversal(self, root: TreeNode) -> List[int]:
        res = []
        stack = []
        current = root
        while current or stack:
            while current:
                stack.append(current)
                current = current.left
            current = stack.pop()
            res.append(current.val)
            current = current.right
        return res

后序

前序遍历的逆序输出

class Solution(object):
    def postorderTraversal(self, root):

        if root is None:
            return []

        stack, res = [root, ], []
        while stack:
            root = stack.pop()
            res.append(root.val)
            if root.left is not None:
                stack.append(root.left)
            if root.right is not None:
                stack.append(root.right)

        return res[::-1]

BFS

迭代

广度优先遍历又称为层次遍历（从根节点向叶子节点、从左到右）

  1. 根节点为第一层，深度为0。初始化一个长度为0的结果列表。从根结点开始：

    1. 如果当前的结果列表长度等于深度，则加一层（对应列表里面加一个空列表）用来保存该层的值

    2. 如果当前的结果列表长度不等于深度，则把当前节点的值加入到该层的列表中

  2. 继续遍历当前节点的左孩子，并使深度+1

  3. 继续遍历当前节点的右孩子，并使深度+1

class Solution:
    def levelOrder(self, root: TreeNode) -> List[List[int]]:
        res = []

        def helper(root, depth):
            if not root: return 
            if len(res) == depth:
                res.append([])
            res[depth].append(root.val)
            helper(root.left, depth + 1)
            helper(root.right, depth + 1)
        helper(root, 0)
        return res

二叉树(Binary Tree)

完全二叉树(Complete tree)

性质

判断一棵树是否是完全二叉树的思路

  1. 如果树为空，则直接返回错

  2. 如果树不为空：层序遍历二叉树

    1. 如果一个结点左右孩子都不为空，则pop该节点，将其左右孩子入队列；

    2. 如果遇到一个结点，左孩子为空，右孩子不为空，则该树一定不是完全二叉树；

    3. 如果遇到一个结点，左孩子不为空，右孩子为空；或者左右孩子都为空；则该节点之后的队列中的结点都为叶子节点；该树才是完全二叉树，否则就不是完全二叉树；

满二叉树(Full Tree)

二叉搜索树

性质

  1. 若任意结点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均不大于它的根结点的值。

  2. 若任意结点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均不小于它的根结点的值。

  3. 任意结点的左、右子树也分别为二叉搜索树。

复杂度

  • 平均：O(logN)

  • 最坏：O(N)，极端情况下退化为链表

平衡二叉树

为了保证树不至于太倾斜，尽量保证两边平衡

性质

  1. 平衡二叉树要么是一棵空树

  2. 要么保证左右子树的高度之差不大于 1

  3. 子树也必须是一颗平衡二叉树

题型

  • 结构（构造树、对称树、相似树、翻转、平衡）

  • 节点（高度、深度、层级、查找、祖先）

  • 路径

参考

  1. 树 (数据结构)

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